Decomposition theorem 분해정리

(Section 8) 분해정리

(subsection 8.1) polynomial

(명제 8.1.4) \(F\left[t\right]\) 의 polynomial \(f_{1}(t), f_{2}(t), … , f_{k}(t)\) 의 최대공약수를 \(d(t)\) 라고 하면, \(d(t) = g_{1}(t) f_{1}(t) g_{2}(t) f_{2}(t) + \cdots + g_{k}(t) f_{k}(t)\) 가 성립하는 \(F\left[t\right]\) 의 polynomial \(g_{1}(t), g_{2}(t), … , g_{k}(t)\) 가 존재한다.

(명제 8.1.5) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 의 characteristic polynomial \(\phi_{T}(t)\) 와 minimal polynomial \(m_{T}(t)\) 의 [F-위의 monic irreducible divisor 의 집합] 은 같다.

(표기법 8.1.10)\(f(t) \in \mathbb{C} \left[t\right]\) 가\( f(t) = \alpha_{n}t^{n} + \alpha_{n-1}t^{n-1} + \cdots + \alpha_{1}t + \alpha_{0}\) (단, \(\alpha_{0} , …, \alpha_{n} \in \mathbb{C}\)) 로 주어졌을 때, \(\hat{F}(t) \in \mathbb{C} \left[t\right] 를 \hat{f}(t) = \hat{\alpha_{n}} t^{n} + \hat{\alpha_{n-1}} t^{n-1} + \cdots + \hat{\alpha_{1}} t + \hat{\alpha_{0}}\) 으로 정의한다. 또, \(A = (\alpha_{ij}) \in \mathfrak{M}{m,n}(\mathbb{C})\) 일 때, \(\hat{A} = (\hat{\alpha{ij}}) \in \mathfrak{M}_{m,n} (\mathbb{C})\) 로 정의한다.

(관찰 8.1.14.) \(A \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})\) 을 real matrix 로 생각하나 complex matrix 로 생각하나 characteristic polynomial 과 minimal polynomial 은 변함이 없다.

(subsection 8.2) T -invariant Subspace

(정의 8.2.1) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이고 \(W \le V\) 일 때, \(T(W) \le W\) 이면 – 즉 \(T |{W} : W \to W\) 가 의미가 있으면 – 우리는 W를 V의 T-invatiant subspace 라고 부른다. 혹은, W 는 “T-stable” 이다 라고 말한다. (만약, \(T \in \mathfrak{M}{n,n}(F)\) 이면, \(T = L_{T}, V = F^{n}\)으로 이해한다.)

(관찰 8.2.9) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이고 \(f(t) \in F\left[t\right]\) 라고 하면 다음이 성립한다.

ker T 와 im T 는 T-invariant.

ker f(T) 와 im f(T) 는 T-invariant.

(subsection 8.3) Primary Decomposition Theorem

(표기법 8.3.3) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때, \(\phi_{T}(t) = p_{1}(t)^{e_{1}} p_{2}(t)^{e_{2}} \cdots p_{k}(t)^{e_{k}}, m_{T}(t) = p_{1}(t)^{f_{1}} p_{2}(t)^{f_{2}} \cdots p_{k}(t)^{f_{k}}\) 로 (F-위에서) 인수분해된다고 하자. 이 때 \(p_{i}(t)\) 들은 F[t] 의 relatively prime monic irreducible polynomial 이고 \(1 \le f_{i} \le e_{i}\) 이다. 또, \(W_{i} = ker p_{i}(T)^{e_{i}} , T_{i} = T|{W{i}} , (i = 1,…,k)\) 로 간단히 표기하기로 한다. \(W_{i}\) 가 T-invariant subspace 이다.

(Primary Decomposition Theorem) (정리 8.3.4) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이면, \(V = ker p_{1}(T)^{e_{1}} \oplus ker p_{2} (T)^{e_{2}} \oplus \cdots \oplus ker p_{k}(T)^{e_{k}} = ker p_{1}(T)^{f_{1}} \oplus ker p_{2}(T)^{f_{2}} \oplus \cdots \oplus ker p_{k}(T)^{f_{k}}\) 로 분해할 수 있다. 그리고 모든 \(i = 1, …, k\) 에 대해, 다음이 성립한다.

\(W_{i} = ker p_{i}(T)^{e_{i}} = ker p_{i}(T)^{f_{i}}\).

\(m_{T_{i}}(t) = p_{i}(t)^{f_{i}}\) .

\(\phi_{T_{i}}(t) = p_{i}(t)^{e_{i}}\) . (따라서, \(dim W_{i} = e_{i} \cdot deg(p_{i})\).)

(보조정리 8.3.5.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때,\( f(t), g(t) \in F\left[t\right]\) 는 monic 이고 relatively prime 이라고 하자. 만약 \(\xi(t) = f(t) g(t) \in \mathcal{I}_{T}\) 이면, \(V = ker f(T) \oplus ker g(T)\) 로 쓸 수 있다. 이때, \(U = ker f(T), W = ker g(T) \)로 간단히 표기하면,

\(\xi(t) = m_{T} (t)\) 일 때에는, \(m_{T|v}(t) = f(t)\) 이고 \(m_{T|w} (t) = g(t)\)

\(\xi(t) = \phi_{T}(t)\) 일 때에는, \(\phi_{T|v} (t) = f(t)\) 이고 \(\phi_{T|w} (t) = g(t)\) .

(subsection 8.4.) Diagonalizability

(따름정리 8.4.1.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이 diagonalizable일 필요충분조건은 T의 minimal polynomial \(m_{T}(t)\) 가 (F-위에서) 일차식들로 인수분해되고 multiple root 을 갖지 않는 것이다. (즉, 모든\( i = 1,…,k\) 에 대하여, \(deg(p_{i}) = 1\) 이고, \(f_{i} = 1\) 인 것이다.)

(따름정리 8.4.2.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이 diagonalizable 이고 W가 V의 T-invariant sub-space 이면, \(T|_{W}\) 도 diagonalizable 이다.

(정의 8.4.3.) \(T , S \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때, V의 하나의 기저 \(\mathfrak{B}\) 에 관해 \(\left[T\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}\) 와 \(\left[S\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}\) 가 모두 대각행렬이면, 우리는 T와 S가 simultaneously diagonalizable 하다고 말한다. 여러 개의 linear operator 의 경우에도 마찬가지로 정의한다.

(명제 8.4.4.) \(T , S \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\)이고, 조건 \(TS = ST\) 를 만족한다고 하자. 이 때, T와 S가 각각 diagonalizable 이면 T,S 는 simultaneously diagonalizable 이다.

(subsection 8.5) T-Cyclic Subspace

(정의 8.5.1.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때, \(V = \lbracef(T) v | f(t) \in F\left[t\right]\rbrace\) 인 \(v \in V\) 가 존재하면, V를 T-cyclic space 라 부르고, \(V = F\left[t\right] v = \lbracef(T) v | f(t) \in F\left[t\right]\rbrace\) 로 표기한다.

(명제 8.5.4.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M} V = F\left[t\right] v\) 가 T-cyclic 이면, 다음이 성립한다.

\(\phi_{T}(t) = m_{T}(t).\)

\(\mathfrak{B} = {v, Tv, T^{2}v, …, T^{n-1} v}\) 는 V의 기저. 단,\( n = dim V = deg (m_{T})\) .

\(\left[T\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}\) 는 \(m{T}(t)\) 에 대응하는 companion matrix.

(정의 8.5.7.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이고, W는 V의 T-invariant subspace 라고 하자. 이 때 W가 \((T|_{W})\)-cyclic 이면 , W 를 V의 T-cyclic subspace 라고 부른다.

(정의 8.5.9.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이고, \(0 \neq w \in V\) 일 때, \(F\left[t\right] w = {f(T) w | f(t) \in F\left[t\right]} = \langle w , Tw , T^{2}w, … \rangle\) 로 표기하고, \(F\left[t\right] w\) 를 =[T-cyclic subspace of V generaged by w] 라고 부른다.

\(W = F\left[t\right] w\) 로 놓을 때, \(m_{w}(t) = m_{(T|{W})} (t)\) 로 간략히 표기하고, \(m{w}(t)\) 를 [minimal polynomial of w in V] 라고 부른다.

(관찰 8.5.11.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 이고, \(0 \neq w \in V\) 일 때, \(W = F\left[t\right]w\) 라고 놓으면, 다음이 성립한다.

\( m_{w}(T) = \phi_{T|w} (t)\).

\(\mathfrak{C} = {w, Tw, …, T^{m-1} w}\) 는 W의 기저. 단,\( m = dim W = deg(m_{w})\) .

\(\left[T|{W}\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{C}}\) 는 \(m_{w}(t)\) 에 대응하는 companion matrix.

\(m_{T} (t)\) 는 \(m_{w} (t)\) 의 배수.

(subsection 8.6) Cyclic Decomposition Theorem

(Cyclic Decomposition Theorem) (정리 8.6.1.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때, \(m_{T} (t) = p(t)^{f}\) 라고 가정하자. 이 때 \(p(t)\) 는 \(F\left[t\right]\) 의 monic irreducible polynomial 이다. 그러면, \(V = U_{1} \oplus U_{2} \oplus \cdots \oplus U_{h}\) 인 V의 (T-invariant) T-cyclic subspace \(U_{1}, …, U_{h}\) 가 존재한다. 그리고, \(\phi_{T|{U{j}}}(t) = m_{T|{U{j}}}(t) = p(t)^{r_{j}} (j = 1,…,h)\) 로 표기할 떄, 다음 조건 \(f = r_{1} \ge r_{2} \ge \cdots \ge r_{h} \ge 1\) 을 만족하는 자연수 h 와 \(r_{1} , … , r_{h}\) 는 유일하게 결정된다.

(따름정리 8.6.2) 두 square matrix \(A, B \in \mathfrak{M}{n,n}(F)\) 에 대해, \(A ~ B\) 인지 여부를 결정해주는 invariant 들의 집합은 \({p{i}(t), h_{i}, r_{ij}}\( 이다.