Fundamental Theorem 기본정리

(Section 5) 기본정리

(subsection 5.1) Vector space of linear maps

(정의 5.1.1) V,W 가 F-vector space 일 때, \(\mathfrak{L} (V,W) = {L : V \to W | L 은 linear map}\( 으로 정의한다. 그리고, [\(L,M \in \mathfrak{L}(V,W)\) 의 합\( L + M\) ] 과, [scalar \(a \in F\) 와\(L \in \mathfrak{L}(V,W)\) 의 상수곱 \(aL\)] 을 각각 \((L + M) (v) = L(v) + M(v) , (aL)(v) = aL(v) (v \in V)\) 로 정의하면 \(\mathfrak{L} (V,W)\) 도 벡터공간이 된다.

(정의 5.1.5) V가 벡터공간일 때, \(V^{} = \mathfrak{L} (V,F)\) 로 정의하고, 우리는 \(V^{}\) 를 V 의 dual space (쌍대공간) 이라고 부른다. 또, \(V^{}\) 의 원소는 linear functional 이라고 부른다. 뿐만 아니라, 우리는 dual 의 dual , 즉 \((V^{})^{} = V^{**} = \mathfrak{L}(V^{} , F)\) 도 생각하게 된다. \(V^{**}\) 는 V의 double dual 이라고 부른다.

(관찰 5.1.7) V가 f.d.v.s. 이면, \(dim V^{*} = dim V\) 이다.

(정의 5.1.8) f.d.v.s V 에 대해 우선\( \mathfrak{B} = {v_{1}, …, v_{n}}\) 을 V의 기저라고 하자. \(v_{i}^{} \in V^{} 를 v_{i}^{} (v_{j}) = \delta_{ij} (1 \le i,j \le n )\) 이라 정의한다. 이제 \(\mathfrak{B}^{} = {v_{1}^{} , …, v_{n}^{}}\) 가 \(V^{}\) 의 basis 이다. 이 \(\mathfrak{B}^{} = {v_{1}^{} , …, v_{n}^{}}\) 를 \(\mathfrak{B}\) 의 dual basis 라 부른다.

(관찰 5.1.9) V,W 가 f.d.v.s. 이면, \(dim \mathfrak{L} (V,W) = (dim V) \cdot (dim W)\) 이다.

(subsection 5.2.) 기본정리 ; 표준기저의 경우

(표기법 5.2.1) 이 절에서는 다음과 같은 notation 을 사용한다.

\(V = F^{n}\) ; \(dim V = n\) , [\(F^{n}\) 의 표준기저 ] = \(\mathcal{E} = {e_{1}, …, e_{n}}\) .

\(W = F^{m}\) ; \(dim W = m\) , [\(F^{m}\) 의 표준기저 ] = \(\mathcal{F} = {f_{1}, …, f_{m}}\) .

\(U = F^{r}\) ; \(dim U = r\) , [\(F^{r}\) 의 표준기저 ] = \(\mathcal{G} = {g_{1}, …, g_{r}}\) .

(정의 5.2.2)\(L \in \mathfrak{L}(F^{n} , F^{m})\) 일 때,

\(L(e_{1}) = \begin{pmatrix}a_{11}

a_{21}

\vdots

a_{m1} \end{pmatrix} , L(e_{2}) = \begin{pmatrix}a_{12}

a_{22}

\vdots

a_{m2} \end{pmatrix} , \cdots , L(e_{n}) = \begin{pmatrix}a_{1n}

a_{2n}

\vdots

a_{mn} \end{pmatrix} \)

이라고 표기하자. (단,\( a_{ij} \in F\)) 이를 한 줄로 줄이면 \(L(e_{j}) = \sum_{i = 1}^{j} a_{ij} \mathbf{f}_{i} ( j = 1,…,n)\) 이 된다. 이때, 우리는

\(\left[L\right]{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = \left[L\right] = (a{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}

a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots

a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\)

으로 정의하고, \(\left[L\right]_{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = \left[L\right]\) 를 표준기저 \(\mathcal{E}\) 와 \(\mathcal{F}\) 에 관한 L 의 행렬(행렬표현) 이라고 부른다. matrix of L with respect to \(\mathcal{E}\) and \(\mathcal{F}\) 라고 부른다.

(선형대수학의 기본정리) (정리 5.2.3) 함수 \(\Phi_{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = \Phi : \mathfrak{M}{m,n} (F) \to \mathfrak{L}(F^{n} , F^{m})\) 을 \(\Phi(A) = L{A} (A \in \mathfrak{M}{m,n} (F))\) 으로 정의하자. 또, 함수 \(\Psi{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = \Psi : \mathfrak{L} (F^{n}, F^{m}) \to \mathfrak{M}{m,n} (F)\) 를 \(\Psi(L) = \left[L\right]{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = \left[L\right], (L \in \mathfrak{L}(F^{n}, F^{m}))\) 이라고 정의하면,

\(\Phi\) 는 isomorphism 이고 \(\Psi\) 는 그의 inverse map 이다.

\(B \in \mathfrak{M}{r,m} (F)\) 이고 \(A \in \mathfrak{M}{m,n}(F)\) 이면, \(\Phi_{\mathcal{G}}^{\mathcal{F}} (B) \bullet \Phi_{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} (A) = \Phi_{\mathcal{G}}^{\mathcal{E}} (BA)\) , 즉 \(L_{B} \bullet L_{A} = L_{BA}\) 가 성립한다. 또, \(L \in \mathfrak{L}(F^{n}, F^{m})\) 이고 \(M \in \mathfrak{L}(F^{m} , F^{r})\) 이면, \(\Psi_{\mathcal{G}}^{\mathcal{F}} (M) \cdot \Psi_{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} (L) = \Psi_{\mathcal{G}}^{\mathcal{E}} (M \bullet L)\) , 즉 \(\left[M\right]_{\mathcal{G}}^{\mathcal{F}} \cdot \left[L\right] {\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = \left[M \bullet L\right]{\mathcal{G}}^{\mathcal{E}}\) 가 성립한다.

(따름정리 5.2.5)

모든 linear map \(L : F^{n} \to F^{m}\) 은 \(L_{A}\) 의 꼴이고, 이 때, \(A \in \mathfrak{M}_{m,n} (F)\) 는 유일하게 결정된다.

\(A \in \mathfrak{M}{m,n}(F)\) 이면, \(\left[L{A}\right] = A\) 이다.

\(L \in \mathfrak{L}(F^{n}, F^{m})\) 이면, \(L_{\left[L\right]} = L\) 이다. 따라서, \(L(X) = \left[L\right] \cdot X , (X \in F^{n})\) 이다.

(subsection 5.3) 기본정리 ; 일반적인 경우

(표기법 5.3.1) 이 절에서는 다음과 같은 notation 을 사용한다.

V; \(dim V = n\) , [V 의 기저 ] = \(\mathfrak{B} = {v_{1}, …, v_{n}}\) .

W; \(dim W = m\) , [W 의 기저 ] = \(\mathfrak{C} = {w_{1}, …, w_{m}}\) .

U; \(dim U = r\) , [U 의 기저 ] = \(\mathfrak{D} = {u_{1}, …, u_{r}}\) .

위의 기저들은 모두 ordered basis 이며 모두 고정된 (fixed) 것으로 생각한다.

(정의 5.3.2) \(L \in \mathfrak{L} (V,W)\) 일 때

\(\begin{cases} L(v_{1}) = a_{11}w_{1} + a_{21}w_{2} + \cdots + a_{m1}w_{m}

L(v_{2}) = a_{12}w_{1} + a_{22}w_{2} + \cdots + a_{m2}w_{m}

\vdots

L(v_{n}) = a_{1n}w_{1} + a_{2n}w_{2} + \cdots + a_{mn}w_{m} \end{cases} \)

이라고 표기하자. (단,\( a_{ij} \in F\)). 이를 한 줄로 줄이면 \(L(v_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{ij} w_{i} (j = 1, …, n)\) 이 된다. 이 때, 우리는

\(\left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = (a{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}

a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots

a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\)

으로 정의하고, \(\left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \in \mathfrak{M}{m,n}(F)\) 를 기저 \(\mathfrak{C}\) 와 \(\mathfrak{B}\) 에 관한 L 의 행렬(행렬표현) 이라고 부른다. matrix of L with respect to \(\mathfrak{C}\) and \(\mathfrak{B}\) 라고 부른다.

(선형대수학의 기본정리) (정리 5.3.5) 함수 \(\Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} : \mathfrak{M}{m,n} (F) \to \mathfrak{L}( V, W )\) 을 \(\left[(\Phi{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A))(v)\right] {\mathfrak{C}} = A \cdot \left[v\right]{\mathfrak{B}} (A \in \mathfrak{M}{m,n} (F) , v \in V)\) 으로 정의하자. 또, 함수 \(\Psi{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} : \mathfrak{L} (V , W ) \to \mathfrak{M}{m,n} (F)\) 를 \(\Psi{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L) = \left[L\right] _{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L \in \mathfrak{L}(F^{n}, F^{m}))\) 이라고 정의하면,

\(\Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}\) 는 isomorphism 이고 \(\Psi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}\) 는 그의 inverse map 이다.

\(B \in \mathfrak{M}{r,m} (F)\) 이고 \(A \in \mathfrak{M}{m,n}(F)\) 이면,\( \Phi_{\mathfrak{D}}^{\mathfrak{C}} (B) \bullet \Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) = \Phi_{\mathfrak{D}}^{\mathfrak{B}} (BA)\) 가 성립한다. 또,\( L \in \mathfrak{L}(V, W )\) 이고 \(M \in \mathfrak{L}(W , U )\) 이면, \(\Psi_{\mathfrak{D}}^{\mathfrak{C}} (M) \cdot \Psi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L) = \Psi_{\mathfrak{D}}^{\mathfrak{B}} (M \bullet L)\) , 즉 \(\left[M\right]{\mathfrak{D}}^{\mathfrak{C}} \cdot \left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = \left[M \bullet L\right] _{\mathfrak{D}}^{\mathfrak{B}}\) 가 성립한다.

(따름정리 5.3.6) \(L \in \mathfrak{L} (V,W)\) 이고 \(v \in V\) 이면, \(\left[L(v)\right]{\mathfrak{C}} = \left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \cdot \left[v\right]_{\mathfrak{B}}\) 이다.

(subsection 5.4) 기본정리의 결과와 우리의 철학

(우리의 철학 3) 행렬과 선형사상은 같은 것이다. (단, [곱셈] = [합성])

(따름정리 5.4.12) \(A \in \mathfrak{M}_{n,n}(F)\) 일 때, 다음 조건은 동치이다.

\(A\)는 invertible matrix.

\(L_{A}\) :\( F^{n} \to F^{n}\) 은 isomorphism.

이 때, \((L_{A})^{-1} = L_{A^{-1}}\) 이다.

(총정리 5.4.17) \(A \in \mathfrak{M}_{n,n}(F)\) 일 때, 다음 조건들은 동치이다.

\(A\)는 invertible matrix.

\(A\) 는 left inverse 를 갖는다. 즉 \(BA = I \)인 \(B \in \mathfrak{M}_{n,n}(F)\) 가 존재.

\(A\) 는 right inverse 를 갖는다. 즉 \(AB = I\) 인 \(B \in \mathfrak{M}_{n,n}(F)\) 가 존재.

\(L_{A} : F^{n} \to F^{n}\) 은 isomorphism

\(L_{A} : F^{n} \to F^{n}\) 은 monomorphism

\(L_{A} : F^{n} \to F^{n}\) 은 epimorphism

\({\left[A\right]^{1} , …, \left[A\right]^{n}}\) 은 \(F^{n}\) 의 basis.

\({\left[A\right]^{1}, …, \left[A\right]^{n}}\) 은 일차독립

\(\langle \left[A\right]^{1} , …, \left[A\right]^{n} \rangle = F^{n}\) .

\(rk(A) = n.\)

\(AX = B\) 는 unique solution 을 갖는다.

\(AX = 0\) 은 trivial solution 만을 갖는다.

위 조건들에 \(A\) 대신 \(^{t}A\) 를 대입한 모든 조건들.

(우리의 철학 4) 선형사상 \(L : V \to W\) 는\( L_{A} : F^{n} \to F^{m}\) 과 같은 함수이다.

(subsection 5.5) Change of Bases

(표기법 5.5.1) 이 절에서는

V; \(dim V = n\) , [V 의 기저 ] = \(\mathfrak{B} = {v_{1}, …, v_{n}}\), \(\mathfrak{B}’ = {v’{1}, …, v’{n}}\)

W; \(dim W = m\) , [W 의 기저 ] = \(\mathfrak{C} = {w_{1}, …, w_{m}}\) , \(\mathfrak{C} = {w’{1}, …, w’{m}}\)

U; \(dim U = r\) , [U 의 기저 ] = \(\mathfrak{D} = {u_{1}, …, u_{r}}\) .

(따름정리 5.5.2) \(L \in \mathfrak{L} (V,W)\) 이면, \(\left[L\right]{\mathfrak{C}’}^{\mathfrak{B}’} = \left[I{W}\right]{\mathfrak{C}’}^{\mathfrak{C}} \cdot \left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \cdot \left[I_{W}\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}’}\)

(따름정리 5.5.3) 다음이 성립한다.

\(\left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B’}} = \left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \cdot \left[I\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}’}\)

\(\left[L\right]{\mathfrak{C}’}^{\mathfrak{B}} = \left[I\right]{\mathfrak{C}’}^{\mathfrak{C}} \cdot \left[L\right]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}\)

(정의 5.5.4) V의 기저 \(\mathfrak{B}, \mathfrak{B}’\) 에 대해, \(\left[I\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}’}\) 혹은 \(\left[I\right]{\mathfrak{B}’}^{\mathfrak{B}}\) 을 transition matrix (한자 행렬) 라 부른다. Transition matrix 는 기저 변환 (change of bases) 의 정보를 갖고 있다.

(관찰 5.5.5) \(\left[I\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}’} \cdots \left[I\right]{\mathfrak{B}’}^{\mathfrak{B}} = I\) , 즉 transition matrix 는 가역이고 \((\left[I\right]{\mathfrak{B}’}^{\mathfrak{B}})^{-1} = \left[I\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}’}\). 역으로, 가역행렬은 항상 transition matrix 로 인식할 수 있다.

(관찰 5.5.6) \(U \in \mathfrak{M}_{n,n} (F)\) 가 가역행렬이고 \(\mathfrak{B}\) 가 V의 기저이면, 다음이 성립한다.

\(U = \left[I\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}’}\) 인 V 의 기저 \(\mathfrak{B}’\) 가 존재한다.

따라서, \(U = \left[I\right]_{\mathfrak{B}’’}^{\mathfrak{B}}\) 인 V 의 기저 \(\mathfrak{B}’’\) 도 존재한다.

(관찰 5.5.7) \(\mathfrak{B}, \mathfrak{C}\) 가 각각 \(F^{n}, F^{m}\) 의 basis 이고, \(A \in \mathfrak{M}{m,n}(F)\) 이면, 기본정리에 의해 \(\left[L{A}\right]{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = A\) 이므로, \(\left[L{A}\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = \left[I\right]{\mathfrak{C}}^{\mathcal{F}} \cdot A \cdot \left[I\right]_{\mathcal{E}}^{\mathfrak{B}}\) 가 성립한다.

(명제 5.5.8) \(A,B \in \mathfrak{M}_{m,n} (F)\) 일 때 다음은 동치이다.

\(QAP = B\) 인 가역행렬 \(Q \in \mathfrak{M}{m,m}(F)\) 와 가역행렬 \(P \in \mathfrak{M}{n,n}(F)\) 가 존재한다.

\(\left[L_{A}\right]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = B\) 인\( F^{n}\) 의 basis \(\mathfrak{B}\) 와\( F^{m}\) 의 basis \)\mathfrak{C}\( 가 존재한다.

다음 diagram

%\begin{tikzpicture} \matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em] { F^{n} & F^{m}

F^{n} & F^{m}

}; \path[-stealth] (m-1-1) edge node [left] {\(\alpha_{\mathcal{E}}^{\mathfrak{B}} \)} node [right] {\(\approx\)} (m-2-1) edge node [above] {\(L_{A}\)} (m-1-2) (m-1-2) edge node [right] {\(\alpha_{\mathcal{F}}^{\mathfrak{C}} \)} node [left] {\(\approx\)} (m-2-2) (m-2-1) edge node [below] {\(L_{B}\)} (m-2-2);\end{tikzpicture}

이 commute하는 \(F^{n}\) 의 basis \(\mathfrak{B}\) 와\( F^{m}\) 의 basis \(\mathfrak{C}\) 가 존재한다. (따라서, 이 경우에 \(L_{A}\) 와 \(L_{B}\) 는 본질적으로 같은 함수라고 말할 수 있다.)

(관찰 5.5.12)

\(L \in \mathfrak{L}(V,V)\) 이고, \(\mathfrak{B}, \mathfrak{C}\) 가 V의 basis 이면, \(\left[I\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \cdot \left[L\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}} \cdot \left[I\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{C}} = \left[L\right]{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{C}}\)

\(A \in \mathfrak{M}{n,n}(F)\) 이고, \(\mathfrak{B}\) 가\( F^{n}\) 의 basis 이면, \(\left[I\right]{\mathfrak{B}}^{\mathcal{E}} \cdot A \cdot \left[I\right]{\mathcal{E}}^{\mathfrak{B}} = \left[L{A}\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}\)

(정의 5.5.13) \(A, B \in \mathfrak{M}{n,n} (F)\) 일 때, 만약 \(U^{-1} A U = B\) 인 invertible matrix \(U \in \mathfrak{M}{n,n} (F)\)가 존재하면, 우리는 \(A ~ B\) 로 표기하고, A similar to B 라고 읽는다.

(관찰 5.5.14) 위 정의의 similarity relation 은 \(\mathfrak{M}_{n,n} (F)\) 의 equivalence relation 이다.

(명제 5.5.15) \(A, B \in \mathfrak{M}_{n,n}(F)\) 일 때, 다음은 동치이다.

\(A ~ B\)

\(\left[L_{A}\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}} = B\) 인\( F^{n}\) 의 basis \(\mathfrak{B}\) 가 존재한다.

다음 diagram

%\(\begin{tikzpicture} \matrix (m) \left[matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em\right] { F^{n} & F^{n}

F^{n} & F^{n}

}; \path\left[-stealth\right] (m-1-1) edge node \left[left\right] {\)\alpha_{\mathcal{E}}^{\mathfrak{B}} \(} node \left[right\right] {\)\approx\(} (m-2-1) edge node \left[above\right] {\)L_{A}\(} (m-1-2) (m-1-2) edge node \left[right\right] {\)\alpha_{\mathcal{F}}^{\mathfrak{C}} \(} node \left[left\right] {\)\approx\(} (m-2-2) (m-2-1) edge node \left[below\right] {\)L_{B}\(} (m-2-2);\end{tikzpicture}\)

이 commute 하는 \(F^{n}\) 의 basis \(\mathfrak{B}\) 가 존재한다. (따라서, 이 경우에 \(L_{A}\) 와 \(L_{B}\) 가 본질적으로 같은 함수라고 말할 수 있다.)

(관찰 5.5.16) \(A~B \in \mathfrak{M}_{n,n} (F)\) 이면, 다음이 성립한다.

\(dim ker L_{A} = dim ker L_{B}\).

\(dim im L_{A} = dim im L_{B}\).

\()rk(A) = rk(B)\).

(subsection 5.6) Row-reduced echelon form

(정리 1.2.3 의 재해석)(정리 5.6.2) \(A \in \mathfrak{M}{m,n}(F)\) 이면, \(\left[L{A}\right]_{\mathfrak{C}}^{\mathcal{E}}\) 가 row-reduced echelon form 인 \(F^{m}\) 의 기저 \(\mathfrak{C}\) 가 존재한다. 이 때, A의 row-reduced echelon form 은 유일하게 결정된다.