Linear Mapping 선형 사상

(Section 4) 선형사상

(subsection 4.1) Linear map

(정의 4.1.1) V,W 가 F-위의 벡터공간일 때, 함수 \(L : V \to W\) 가 다음 조건을 만족하면 L을 linear map (선형사상, linear mapping, linear transformation from V into W) 라고 부른다.

\(L(v_{1} + v_{2}) = L(v_{1}) + L(v_{2}) (v_{1}, v_{2} \in V)\)

\(L(av) = aL(v) ( v \in V , a \in F)\)

(관찰 4.1.2) \(L : V \to W\) 가 linear map 일 때,

\( L(0) = 0\)

\(v \in V\) 이면, \(L(-v) = -L(v)\)

\(u,v \in V\) 이면, \(L(u-v) = L(u) – L(v)\)

(정의 4.1.3) \(L : V \to W\) 가 linear map일 때,

L 이 injective (단사) 이면, L을 monomorphism 이라 부른다.

L 이 surjective (전사) 이면, L 을 epimorphism 이라고 부른다.

L 이 bijective (전단사) 이면, L을 isomorphism 이라고 부른다.

V = W 이면, L 을 endomorphism, 혹은 Linear operator, 혹은 간단히 operator 라 부른다.

Bijective endomorphism 은 automorphism 이라고 부른다.

(관찰 4.1.4) \(L : V \to W\) 가 linear map 일 때, 다음 조건은 동치이다.

L 은 isomorphism.

[\(M \bullet L = I_{V}\) 이고\( L \bullet M = I_{W}\) ] 인 linear map\(M : W \to V\) 가 존재.

(정의 4.1.5)\( L : V \to W\) 가 linear map 일 때,

\(ker L = L^{-1} (0) = {v \in V | L(v) = 0}\) 을 L 의 kernel 이라고 부른다.

\(im L = L(V) = {L(v) | v \in V}\) 를 L의 image 라고 부른다.

(관찰 4.1.6) \(L : V \to W\) 가 linear map 이면, \(ker L \le V , im L \le W\) 이다.

(관찰 4.1.8) \(L : V \to W\) 가 linear map 일 때, 다음 조건은 동치이다.

L 은 monomorphism 이다.

\(u,v, \in V\) 이고 \(Lu = Lv\) 이면, \(u = v \)이다.

\(v \in V\) 이고\(Lv = L0\) 이면, \(v = 0\) 이다.

\(ker L = 0\) 이다.

(관찰 4.1.9)\( L : V \to W\) 가 linear 이고, \(S \subseteq V\) 이면,\( L\langle S \rangle = \langle LS \rangle\) 이다.

(관찰 4.1.12) \(L : V \to W\) 가 linear map 일 때, 다음 조건은 동치이다.

L 은 isomorphism 이다.

L 은 basis 를 basis 로 옮긴다.

(표기법 4.1.13) \(U \le V\) 이고 \(v \in V\) 일 때, \(v + U = {v + u | u \in U}\) 의 notation 을 쓴다.

(subsection 4.2) Linear map 의 보기

(관찰 4.2.7) 두 선형사상의 합성은 다시 선형사상이다. 즉, \(M : U \to V\) 와 \(L : V \to W\) 가 linear 이면, \(L \bullet M : U \to W\) 도 linear 이다.

(정의 4.2.10) \(A \in \mathfrak{M}{m,n} (F)\) 일 때, \(L{A} : F^{n} \to F^{m}\) 을 \(L_{A}(X) = AX (X \in F^{n})\) 으로 정의하면, \(L_{A}\) 가 linear map 인 것은 자명하다. \(L_{A}\) 를 matrix A 에 대응하는 linear map 이라 부른다.

(subsection 4.3) Dimension Theorem

(Dimension Theorem) (정리 4.3.1) V, W 가 f.d.v.s 이고, \(L : V \to W\) 가 linear map 이면, dim V = dim ker L + dim im L 이다.

(따름정리 4.3.2) V,W 가 f.d.v.s. 이고 \(dim V = dim W\) 일 때, \(L : V \to W\) 가 linear map 이면 다음 세 조건은 동치이다.

L 은 isomorphism. (즉, L은 bijection)

L 은 monomorphism (즉, L 은 injection)

L 은 epimorphism (즉, L 은 surjection)

(Pigeonhole Principle) (정리 4.3.4) X,Y 가 (non-empty) finite set 이고 \(|X| = |Y|\) 일 때, \(f : X \to Y\) 가 함수이면 다음 세 조건은 동치이다.

f는 bijection.

f 는 injection.

f 는 surjection.

(따름정리 4.3.6) V,W 가 f.d.v.s. 이고 \(L : V \to W\) 가 linear map 일 때,

L 이 monomorphism 이면, \(dim V \le dim W\).

L 이 epimorphism 이면, \(dim V \ge dim W\).

(subsection 4.4) Rank Theorem

(정의 4.4.1) \(A \in \mathfrak{M}{m,n} (F)\) 일 때, A 의 i-번째 row 는 \(\left[ A \right]{i}\) 로 표기하고, A의 j-번째 column 은 \(\left[ A \right]^{j}\) 로 표기한다. \(\mathfrak{M}{1,n}(F)\) 의 부분공간 \(\langle \left[ A\right]{1}, …, \left[ A \right]_{m} \rangle\) 을 A의 rowspace 라 부른다. A 의 row space 의 dimension 은 A 의 row rank 라 부른다. 마찬가지로, A의 column space 는 \(F^{m}\) 의 부분공간 \(\langle \left[ A \right]^{1} , …, \left[ A \right]^{n} \rangle\) 이고, 그 dimension 은 A의 column rank 라고 부른다.

(관찰 4.4.3) 행렬 A에 elementary row operation 을 수행해도 A의 row space 는 변화하지 않는다. 따라서, [A 로부터 얻어지는 row-reduced echelon form 의 row space] 와 [A 의 row space ] 는 같다.

(Rank Theorem) (정리 4.4.4) \(A \in \mathfrak{M}_{m,n} (F)\) 이면, [row rank of A] = [column rank of A] 이다.

(정의 4.4.5) \(A \in \mathfrak{M}_{m,n}(F)\) 일 때, A의 row rank (혹은 column rank) 를 간단히 A의 rank 라 부르고 rk(A) 로 표기한다.

(따름정리 4.4.6) \(A \in \mathfrak{M}_{m,n} (F)\) 일 때, homogeneous linear equation (*) AX = 0 의 solution space 의 dimension 은 n – rk(A) 이다.

(따름정리 4.4.7) 행렬 A에 elementary row operation 을 수행해도 (A의 column space 는 변화하지만) A의 column rank 는 변화하지 않는다.

(subsection 4.5) Linear extension theorem

(관찰 4.5.1) \(\mathfrak{B} = {v_{1}, …, v_{n}}\) 이 V의 basis 이고 \(L, M : V \to W\) 가 linear 일 때, [\(L(v_{i}) = M(v_{i})\) for all i] 이면, \(L = M\) 이다. 즉, 선형사상은 기저에서의 값이 결정한다.

(Linear extension theorem) (정리 4.5.3) \(\mathfrak{B}\) 가 V의 basis 이고\( f : \mathfrak{B} \to W\) 가 함수이면, \(L|_{\mathfrak{B}} = f\) 인 linear map\( L : V \to W\) 가 유일하게 존재한다.

(Classification of Vector Spaces) (따름정리 4.5.10) V,W 가 F-vector space 일 때, 다음은 동치이다.

\(V \approx W\)

\(dim V = dim W\)

(Classification of f.d.v.s) (따름정리 4.5.11) f.d.v.s. V 의 dimension 이 n 이면, \(V \approx F^{n}\) 이다.