Vector space 벡터 공간¶

(Section 2) 벡터공간

(subsection 2.1.) Vector Space

(표기법 2.1.1) $F^{n} = \mathfrak{M}_{n,1}(F)$.

(정의 2.1.2) F가 위와 같고, 집합 V에 덧셈과 상수곱이 주어져 있을 때, 다음 연산규칙들을 만족하면 V를 F 위의 벡터공간 (vector space over F, 혹은 F-vector space) 라 부른다. 또, V의 원소들을 vector라 부르고, F의 원소를 scalar라 부른다.

$u,v,w \in V$ 이면, $(u+v) +w = u + (v + w)$ (덧셈의 결합법칙)

$v, w \in V$ 이면 , $v + w = w + v$ (덧셈의 교환법칙)

(모든 $v \in V$ 에 대하여 $ v + 0 = v$) 인 $0 \in V$ 존재 (덧셈의 항등원)

$v \in V $이면, $v + (-v) = 0$ 인 $-v \in V$ 존재. (덧셈의 역원)

$a,b \in F$ ,$ v \in V$ 이면, $(a + b) v = av + bv$ (분배법칙)

$a \in F$, $v, w \in V$ 이면, $a(v+w) = av + aw$ (분배법칙)

$a, b \in F$, $v \in V$ 이면, $a(bv) = (ab)v$

$v \in V$ 이면, $1v = v$

(관찰 2.1.3)

vector space V 의 덧셈의 항등원 $0 \in V$ 는 유일하다.

$v \in V$ 이면, v의 덧셈의 역원 $-v \in V$ 는 유일하다.

(표기법 2.1.4) 유일성이 보장된 $0 \in W$ 를 the zero vector 라 부른다. $v \in w$ 일 때, $v -w = v + (-w)$ 로 쓴다.

(Cancellation law) (관찰 2.1.5) $u,v,w \in V$ 이면, 다음 $ \left[u + v = u + w \right] \implies \left[ v = w \right] $ 이 성립한다. 즉, $u + v = u + w$ 양 변에서 u 를 cancel 할 수 있다.

(관찰 2.1.7) $v \in V$ 이고 $a \in F$ 이면,

$0v = 0$.

$a0 = 0 \in V$.

$-v = (-1) v$.

$-(av) = (-a) v$.

$-(av) = a(-v)$.

(subsection 2.2) Subspace

(정의 2.2.2) W가 F-vector space V 의 subset 일 때 (즉, $W \subseteq V$ 일 때,) V로부터 물려받은 덧셈과 상수곱에 대하여 ,W 자신이 F-vector space 가 되면, 우리는 W를 V의 F-subspace (부분공간, 혹은 간단히 subspace) 라 부르고, \)W \le V\) 로 표기한다.

(관찰 2.2.3) F-vector space V 의 non-empty subset W 가 V의 subspace 일 필요충분조건은 다음과 같다. 즉, W가 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀있으면 , V의 subspace 가 된다.

$w_{1} , w_{2} \in W$ 이면, $w_{1} + w_{2} \in W$.

$w \in W$ 이고 $a \in F$ 이면, $aw \in W$.

(관찰 2.2.5) $U \le W$ 이고 $W \le V$ 이면, $U \le V$ 이다. (subspace의 subspace는 subspace이다.)

(표기법 2.2.6) $W_{1} , \cdots, W_{k} \subseteq U$ 일 때, $\sum_{i = 1}^{k} W_{i} = W_{1} + \cdots + W_{k} = \lbrace w_{1} + \cdots + w_{k} | w_{1} \in W_{1}, \cdots, w_{k} \in W_{k} \rbrace $ 로 표기하고 $W_{1} \cdots , W_{k}$ 의 합(sum)이라고 부른다.

(subspace 2.4) Isomorphism

(정의 2.4.1) V와 V’ 이 F-vector space 이고, 다음 조건

$\phi(v_{1} + v_{2}) = \phi(v_{1}) + \phi(v_{2}) , (v_{1}, v_{2} \in V) $

$\phi(av) = a \phi(v) (v \in V, a \in F)$

을 만족하는 bijection $\phi: V \to V’$ 이 존재하면, 우리는 F-vector space V 와 V’ 이 isomorphic 하다 말하고, $V \approx V’ $혹은\begin{tikzpicture} \matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em] {V &V’};\path-stealth edge node [above] {\)\phi$} node [below]{$\approx\)} (m-1-2); \end{tikzpicture}로 표기한다. 이 때, $$\phi$$ 를 (F-vector space) isomorphism (from V onto V’) 이라고 부른다.(관찰 2.4.2) $$\phi : V \to W$$ 가 isomorphism 이면, $$\phi(0) = 0$$ 이고, 모든 $$v \in V$$에 대해 $$\phi(-v) = -\phi(v)$$ 이다.(관찰 2.4.4) 위 (정의 2.4.1) 의 relation $$\approx$$ 는 equivalence relation 이다.