Group

(Section 11) 군

(subsection 11.1) Binary Operation 과 Group

(정의 11.1.1.) 집합 X가 있을 때, 함수 * : X \times X \to X 를 X위의 이항연산 (Binary operation) 이라고 부른다.

(정의 11.1.2.) 이항연산을 갖는 집합 X가 있을 때, 임의의 x,y,z \in X 에 대해 (xy)z = x(yz) 가 성립하면, 이항연산이 결합법칙(Associative law) 를 만족한다고 말한다.

(정의 11.1.4.) 이항연산 *를 갖는 집합 G가 다음 조건들

모든 x,y,z \in G 에 대하여 (xy)z = x(yz)

[모든 x \in G 에 대하여 xe = ex = x] 인 원소 e \in G 가 존재.

각 x \in G 에 대하여 x\bar{x} = \bar{x} x = e 를 만족하는 원소 \bar{x} \in G 가 존재.

를 만족하면, G를 , 정확하는 (G,*) 를 , 군 (Group) 이라고 부른다.

(관찰 11.1.6.) 군은 공집합이 아니다.

(관찰 11.1.7.) G가 group 이면 [[모든 x \in G 에 대하여 xe = ex = x] 인 원소 e \in G 가 존재.] 조건을 만족하는 e는 하나뿐이다. 이 때 e를 G의 항등원( identity 혹은 identity element) 라 부르고, G를 강조할 필요가 있으면 e = e_{G} 로 표기한다.

(관찰 11.1.8.) G가 군이고 x \in G 이면, [각 x \in G 에 대하여 x\bar{x} = \bar{x} x = e 를 만족하는 원소 \bar{x} \in G 가 존재.] 를 만족하는 \bar{x}는 하나뿐이다. 이 때, \bar{x} 를 x의 역원 ( inverse element) 라고 부르고, \bar{x} = x^{-1} 로 표기한다.

(정의 11.1.9.) 군 G가 finite set 이면, G를 유한군(finite group) 이라고 부른다. 따라서, 무한군(infinite group) 의 뜻도 자명하다. 특히, G가 유한군일 때, |G| 를 G 의 order 라고 부른다.

(정의 11.1.10.) 군 G가 모든 x,y \in G 에 대해 xy = yx 의 조건을 만족하면, G를 가환군 (Commutative group, 혹은 abelian group) 이라고 부른다.

(subsection 11.2.) Group 의 초보적인 성질

(표기법 11.2.1) (Multiplicative notation) Group G 의 이항연산을 곱셈으로 표기할 때는 항등원을 대개 e = 1로 표기한다. 그리고 g \in G 일 때, 언제나처럼 g^{1} = g, g^{2} = gg , \cdots 로 정의한다. g^{0} =1 로 정의하는 것이 관습이고, g^{-2} = g^{-1}g^{-1}, g^{-3} = g^{-1}g^{-1}g^{-1} , \cdots 로 표기한다.

(Additive Notation) Group G의 이항연산을 덧셈으로 표기할 때에는 보통 G가 abelian group 인 것을 implicitly 가정한다. 이 때에는, 항등원을 e = 0 으로 표기하고 g \in G 의 inverse element 를 (-g) 로 표기하는 것이 관습이다. 따라서 이 경우에는 \cdots , (-2)g = (-g) + (-g) , (-1)g = -g , 0g = 0, 1g = g, 2g = g+g , \cdots 의 표기법이 자연스럽다. (그리고 h \in G 일 때, g-h = g + (-h) 의 표기법도 사용한다.)

G가 commutative group 이라고 하면 multiplicative notation을 사용하고, abelian group 이라고 하면 additive notation 을 사용하는 것이 관례이다. 별다른 언급이 없으면 multiplicative notation 을 사용한다.

(Cancellation Law) (관찰 11.2.9.) x,y,z \in G 일 때, xy = xz 이면 y = z 이다. 또, xz = yz 이면 x = y 이다.

(관찰 11.2.14.) 연산표의 각 가로줄에는 모두 다른 원소가 나타난다. 각 세로줄도 마찬가지이다.

(관찰 11.2.15.) 고정된 x \in G 에 대해서 함수 \lambda_{x} : G \to G 를 \lambda_{x} (y) = xy ( y \in G) 로 정의하면, \lambda_{x} : G \to G 는 bijection 이다. \lambda_{x} 는 집합 G를 permute 한다.

(subsection 11.3.) Subgroup

(정의 11.3.1.) H가 group G의 subset일 때( 즉 H \subseteq G일 때) G로부터 물려받은 binary operation 에 관하여, H 자신 group 이 되면, 우리는 H를 G의 subgroup(부분군) 이라고 부르고 H \le G 로 표기한다.

(관찰 11.3.2.) H \le G 일 때,

G 의 identity element 를 e_{G} 로, H 의 identity element 를 e_{H} 로 표기하면, e_{H} = e_{G} 이다.

h \in H 일 때, h 의 G에서의 inverse 를 h^{-1} 로, H에서의 inverse 를 h’ 으로 표기하면, h’ = h^{-1} 이다.

(관찰 11.3.4.) Group G 의 subset H 가 G의 subgroup 일 필요충분조건은 다음과 같다.

h_{1} , h_{2} \in H 이면, h_{1}h_{2} \in H .

e \in H.

h \in H 이면, h^{-1} \in H.

(관찰 11.3.7.) K \le H 이고 H \le G 이면, K \le G 이다. (즉, 부분군의 부분군은 부분군이다.)

(표기법 11.3.9.) H , K \subseteq G 일 때, HK = {hk \in G | h \in H, k \in K}로 표기한다.

(정의 11.3.11.) S \subseteq G 일 때, S를 포함하는 가장 작은 G의 subgroup 을 \langle S \rangle 로 표기하고, \langle S \rangle 을 subgroup generated by S (S 가 생성한 부분군) 이라고 부른다. (여기서 ‘가장 작다’는 말은 [물론 S \subseteq \langle S \rangle \le V 이면서, 만약 H 가 S를 포함하는 임의의 G 의 subgroup 이면 \langle S \rangle \le H ] 라는 뜻이다.)

(관찰 11.3.12.) S \subseteq G 이면, \langle S \rangle = \bigcup_{S \subseteq H \le G} H 이다. 이로부터 \langle S \rangle 의 existence 와 uniqueness 가 얻어진다.

(정의 11.3.15.) x \in G 일 때, \langle x \rangle 를 x 가 generate 하는 G의 cyclic subgroup 이라고 부른다.

G = \langle x \rangle 인 x \in G 가 존재하면, G 를 x 를 generator 로 갖는 cyclic group 이라고 부른다.

(정의 11.3.16.) S \subseteq G 일 때, S^{-1} = {s^{-1} \in G | s \in S } 로 표기하자. 이 때, S \cup S^{-1} 의 원소를 alphabet 이라고 부르자.

Alphabet 들을 유한개 늘어놓은 (곱한) 것을 word 라고 부른다. e는 empty word 로 취급한다.

(관찰 11.3.17) S \subseteq G 일 때, [alphabet S \cap S^{-1} 로 만들어진 word 전체의 집합] 은 G의 subgroup 이 된다.

(명제 11.3.18) S \subseteq G 이면, \langle S \rangle 는 [alphabet S\cupS^{-1} 로 만들어진 word 전체의 집합]과 같다.

(subsection 11.4.) 학부 대수학의 반

(학부 대수학의 반) (정리 11.4.2.) Abelian group (\mathbb{Z}, +) 의 subgroup 은 n\mathbb{Z} 들 뿐이다. (단, 0 \le n \in \mathbb{Z})

(subsection 11.5.) Group Isomorphism

(정의 11.5.1.) G와 G’이 group 이고, 다음 조건 \phi(g_{1}g_{2}) = \phi(g_{1}) \phi(g_{2}) (g_{1}, g_{2} \in G) 를 만족하는 bijection \phi : G \to G’ 이 존재하면, 우리는 group G와 G’ 이 (group 으로서) isomorphic 하다고 말하고, G \approx G’ 혹은

\begin{tikzpicture}\matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em] {G &G’ \}; \path[-stealth] (m-1-1) edge node [above] {$\phi$} node [below]{$\approx$} (m-1-2);\end{tikzpicture}

으로 표기한다. 이 때, \phi 를 (grou) isomorphism(from G onto G’) 이라고 부른다.

(관찰 11.5.4.) 위 (정의 11.5.1.) 의 relation \approx 는 equivalence relation 이다.

(subsection 11.6.) Group Homomorphism

(정의 11.6.1.) G,H 가 group 일 때, 함수 \phi : G \to H 가 다음 조건 \phi(g_{1}g_{2}) = \phi(g_{1}) \phi(g_{2}) (g_{1}, g_{2} \in G) 를 만족하면 \phi 를 (group) homomorphism from G into H 라고 부른다.

(관찰 11.6.2.) \phi : G \to H 가 group homomorphism 이면,

\phi(e) = e

x \in G 이면, \phi(x^{-1}) = (\phi(x))^{-1} = \phi x^{-1}.

(정의 11.6.3.) \phi : G \to H 가 homomorphism 일 때,

\phi 가 injective 이면, \phi 를 monomorphism 이라고 부른다.

\phi 가 surjective 이면, \phi 를 epimorphism 이라고 부른다.

\phi 가 bijective 이면, \phi 를 isomorphism 이라고 부른다.

G = H 이면, \phi 를 endomorphism 이라고 부른다.

Bijective endomorphism 을 automorphism 이라고 부른다.

(관찰 11.6.4.) \phi : G \to H 가 homomorphism 일 때, 다음 조건은 동치이다.

\phi 는 isomorphism.

[\psi \bullet \phi = I_{G} 이고 \phi \bullet \psi = I_{H}] 인 homomorphism \psi : H \to G 가 존재한다.

(정의 11.6.5.) \phi : G \to H 가 homomorphism 일 때,

ker \phi = \phi^{-1} (e) = {x \in G | \phi(x) = e} 를 \phi 의 kernel 이라고 부른다.

im \phi = \phi(G) = {\phi(x) | x \in G } 를 \phi 의 image 라고 부른다.

(관찰 11.6.6.) \phi : G \to H 가 homomorphism 이면,

ker \phi \le G 이고 im \phi \le H 이다.

\phi 가 monomorphism 이면, G 와 im \phi 는 isomorphic 하다.

K \le G 이면, \phi(K) \le H 이다.

(관찰 11.6.7.) \phi : G \to H 가 homomorphism 일 때, 다음 조건은 동치이다.

\phi 는 monomorphism 이다.

x , y \in G 이고 \phi x = \phi y 이면, x = y 이다.

x \in G 이고 \phi x = \phi e = e 이면, x = e 이다.

ker \phi = {e} 이다.

(관찰 11.6.8.) \phi : G \to H 가 homomorphism 이고 S 가 G 의 subset 이면,

\phi \langle S \rangle = \lange \phi S \rangle 이다.

G = \langle S \rangle 이면, im \phi = \langle \phi S \rangle이다.

\phi 가 epimorphism 일 필요충분조건은 \phi 가 (G의) generating set 을 (H의) generating set 으로 옮기는 것이다.

(subsection 11.7.)

(정의 11.7.3.) x \in G 일 때, G의 cyclic subgroup \langle x \rangle 의 order 를 x 의 order 라고 부른다. x 의 order 는 |x| 로 표기한다. 즉 |\langle x \rangle | = |x|.

(관찰 11.7.4.) x \in G 일 때, |x| = n < \infty 일 필요충분조건은 다음과 같다.

x^{n} = 1 이고, 0 m < n 이면 x^{m} \neq 1. 즉, n 은 x^{n} = 1인 최소의 자연수이다.

(재정의 11.7.5.) x \in G 일 때, homomorphism \gamma_{x} : \mathbb{Z} \to G 를 \gamma_{x} (a) = x^{a}, (a \in \mathbb{Z}) 라고 정의하자. 이 때 ker \gamma_{x} \le \mathbb{Z} 이므로, [학부대수학의 반] 에 의해 ker \gamma_{x} = n\mathbb{Z} 인 0 \le n \in \mathbb{Z} 가 존재한다. 만약 n = 0 이면 |x| = \infty 로 정의하고, n \neq 0 이면 |x| = n 으로 정의한다.

(정리 11.7.8.) Cyclic group 은 up to isomorphism \mathbb{Z} 와 \mu_{n} 뿐이다.

(정리 11.7.9.) Cyclic group 의 subgroup 은 cyclic group 이다.

(subsection 11.8.) Group 과 Homomorphism 의 보기

(재정의 11.8.6.) X가 non-empty set 일 때, S_{X} 를 S_{X} = {\sigma : X \to X | \sigma 는 bijection} 으로 정의하면, (S_{X} , \bullet ) 는 group 이 된다. S_{X} 를 symmetric group on X 라고 부른다.

(Cayley’s Theorem) (정리 11.8.8.) \lambda : G \to S_{G} 를 (\lambda(x))(g) = \lambda_{x} (g) = xg (x,g \in G) 로 정의하면, \lambda 는 monomorphism 이 된다. 그러므로 모든 group 은 symmetric group 의 subgroup 과 isomorphic 하다.

(subsection 11.9.) Linear group

(보기 11.9.1.) 가역행렬 전체의 집합을 GL_{n}(F) = {A \in \mathfrak{M}{n,n}(F) | A is invertible} 으로 표기하고 [general linear group over F] 라고 부른다. GL{n}(F) 는 행렬의 곱셈을 이항연산으로 갖는 group 이다. 그리고, GL_{n}(F) 의 subgroup 을 linear group 또는 matrix group 으로 부른다.

SL_{n}(F) = {A \in GL_{n}(F) |det(A) = 1} 로 표기하고, [special linear group over F] 라고 부른다. SL_{n} (F) \le GL_{n}(F) 이다.

(보기 11.9.2.) V가 finite dimensional F-vector space 일 때, GL(V) = {L \in \mathfrak{L}(V,V) | L is invertible} 으로 표기하고 [general linear group on V] 라고 부른다. GL(V) 는 선형사상의 합성을 이항연산으로 갖는 group 이다. 그리고, GL(V) 의 subgroup 을 linear group 으로 부른다.

SL(V)= {L \in GL(V) |det(L) = 1} 로 표기하고, [special linear group on V] 라고 부른다. SL(V)\le GL(V) 이다.

(표기법 11.9.7.) GL_{1}(F), 즉 F – {0} 을 F^{\times} = GL_{1}(F) = F-{0} 으로 표기하고, [the multiplicative subgroup of F] 라고 부른다.

(Cayley’s Theorem 의 따름정리)(따름정리 11.9.21.) 모든 finite group 은 linear group (또는 matrix group) 과 isomorphic 하다.