Characteristic polynomial and Diagonalization 특성다항식과 대각화

(section 7) 특성다항식과 대각화

(subsection 7.1) Eigen-vector 와 Eigen-value

(정의 7.1.1)\(A \in \mathfrak{M}_{n,n}(F)\) 일 때, \(AX = \lambda X\) 인 \(\lambda \in F\) 와 \(0 \neq X \in F^{n}\) 이 존재하면, 우리는 X를 eigen-value \(\lambda\) 를 갖는 (\(\lambda\) 에 대응하는) A의 eigenvector라 부른다. 마찬가지로, \(L \in \mathfrak{L}(V,V)\) 이고, \(Lv = \lambda v\) 인 \(\lambda \in F\) 와 \(0 \neq v \in V\) 가 존재할 때, 우리는 v 를 eigen-value \(\lambda\) 를 갖는 L의 eigen-vector 라 부른다.

(표기법 7.1.2) 앞으로 [\(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\)] 이라고 하면, 항상 [\(T \in \mathfrak{L}(V,V)\) 또는 \(T \in \mathfrak{M}{n,n}(F)\)] 를 뜻하기로 약속한다. 이 때, \(dim V = n\) 이고, vector들은 u,v,w 등으로 표기하며, \(I{V} = I_{n} = I\) 는 혼동하기로 한다. 물론 T가 행렬이면 \(V = F^{n}\) 으로 이해하고, \(T = L_{T} \)로 혼동한다. (따라서, \(A \in \mathfrak{M}{n,n}(F)\)) 일 때, \(ker A = ker L{A}\) 의 표기법도 가능.) 또, 혹시 모르니, \(V \neq 0\) 이라고 가정.

(재정의 7.1.3) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 일 때, \(Tv = \lambda v\) 인 \(\lambda \in F\) 와 \(0 \neq v \in V \)가 존재하면, 우리는 v를 eigen-value \(\lambda\) 를 갖는 T의 eigen-vector 라고 부른다.

(정의 7.1.7) \(L \in \mathfrak{L} (V,V)\) 일 때, V의 임의의 기저 \(\mathfrak{B}\) 를 골라 \(det(L) = det(\left[L\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}})\) 로 정의하자.

(관찰 7.1.8) (정의 7.1.7) 의 \(det(L)\) 은 well-defined 되어있다.

(정의 7.1.9) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 이고, [T 혹은 \(\left[T\right]{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}} \)의 좌표] 를 \(a{ij}\) 로 표기할 때, T 의 characteristic polynomial (특성다항식) \(\phi_{T}(t) \in F\left[t\right]\) 를 \(\phi_{T}(t) = det(tI – T) = \begin{vmatrix} t-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n}

-a_{21} & t-a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n}

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots

-a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & t-a_{nn}

\end{vmatrix}\)

으로 정의한다. (이 때, \(tI – T\) 의 t는 마치 scalar 인 것처럼 생각한다.)

(관찰 7.1.10) Characteristic polynomial 은 similar matrix 의 invariant 이다. 따라서, \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\)일 때, \(\phi_{T}(t)\) 는 well-defined 된다.

(명제 7.1.11) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 일 때, \(\lambda \in F \)가 T의 eigen-value 이기 위한 필요충분조건은 \(\phi_{T}(\lambda) = 0\) 인 것이다.

(관찰 7.1.12) Trace, rank, determinant, characteristic 및 eigen-value 는 similar matrix 의 invariant 이다.

(정리 7.1.18) 모든 다항식 \(f(t) \in \mathbb{C}\left[t\right]\) 는 (\(\mathbb{C}\) 에서) 근 (root) 를 갖는다. (즉, 인수정리에 의해, \(f(t) \in \mathbb{C}\left[t\right]\) 는 \(\mathbb{C}\) 위의 일차식들의 곱으로 인수분해된다.)

(subsection 7.2.) Diagonalization

(정의 7.2.1) \(A \in \mathfrak{M}{n,n} (F)\) 일 때, \(A ~ D\) 인 diagonal matrix \(D \in \mathfrak{M}{n,n} (F)\) 가 존재하면, A를 diagonalizable matrix 라 부른다.

(관찰 7.2.2) \(A \in \mathfrak{M}_{n,n}(F)\) 일 때, 다음 조건들은 동치이다.

A는 diagonalizable.

A 의 eigen-vector 들로 이루어진 \(F^{n}\) 의 basis 가 존재.

(정의 7.2.3) Linear operator \(L \in \mathfrak{L}(V,V)\) 의 (V의 임의의 기저 \(\mathfrak{B}\) 에 대한) 행렬 \(\left[L\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}\) 가 diagonalizable 이면, L 도 diagonalizable 이라고 말한다.

(관찰 7.2.4) Linear operator \(L \in \mathfrak{L} (V,V)\) 가 diagonalizable 이기 위한 필요충분조건은\( \left[L\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}\) 가 diagonalizable matrix 인 V의 기저 \(\mathfrak{B}\) 가 존재하는 것이다.

(재정의 7.2.5) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 일 때, \(\left[T\right]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}\) 가 diagonal matrix 인 V 의 기저 \(\mathfrak{B}\) 가 존재하면 – 즉, T의 eigen-vector 들로 이루어진 V의 기저 \(\mathfrak{B}\) 가 존재한다면 – T는 diagonalizable 이라 말한다.

(명제 7.2.6) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 일 때, \(\phi_{T}(t)\) 가 F에서 서로 다른 n-개의 root 를 가지면, T 는 diagonalizable이다. (물론, \(dim V = n\))

(보조정리 7.2.7) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 일 때, \(v_{1}, …, v_{k}\) 가 T의 eigen-vector 라고 하자. 만약, \(v_{i} 의 eigen-value \lambda_{i}\) 들이 mutually distinct (즉, \(\lambda_{i} \neq \lambda_{j} if i \neq j\)) 이면, \({v_{1}, …, v_{k}}\) 는 일차독립이다.

(subsection 7.3.) Caley-Hamilton Theorem

(정의 7.3.2) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 일 때, \(\mathcal{I}_{T} = {f(t) \in F\left[t\right] | f(T) = 0}\) 라고 정의하자.

(명제 7.3.4) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 이면, \(\mathcal{I}_{T} \neq 0\) 이다.

(Cayley-Hamilton Theorem) (정리 7.3.5) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 이면, \(\phi_{T}(T) = 0\) 이다. 즉, \(\phi_{T}(t) \in \mathcal{I}_{T}\) 이다.

(subsection 7.4) Minimal Polynomial

(정의 7.4.1) \(T \in \mathfrak{L} \mathfrak{M}\) 일 때, \(\mathcal{I}{T}\) 의 non-zero polynomial 중에서 [최소의 degree 를 갖는 monic polynomia] 을 T의 minimal polynomial 이라고 부르고, \(m{\tau}(t)\) 로 표기한다.

(관찰 7.4.2) \(A, B \in \mathfrak{M}{n,n}(F)\) 이고 \(A ~ B\) 이면, \(m{A}(t) = m_{b}(t)\) 이다. 즉, minimal polynomial 은 similar matrix 의 invariant 이다.

(정리 7.4.3) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때, T의 minimal polynomial 은 존재하고 하나뿐이다.

(따름정리 7.4.4)\(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때, \(f(t) \in \mathcal{I}{T}\) 이면, \(f(t)\) 는 \(m{T}(t)\) 의 배수이다.

특별히 , \(\phi_{T}(t)\) 도 \(m_{T}(t)\) 의 배수이다.

(subsection 7.5) Direct sum 과 Eigen-space Decomposition

(정의 7.5.1) V가 벡터공간이고 U,W 가 V의 부분공간이라고 하자. 이 때, \(U \cap W\) 이면, \(U + W = U \oplus W \)로 표기하고, “\(U+W\) 는 \(U,W\) 의 direct sum이다” 라고 말한다.

(관찰 7.5.2) V가 vector space 이고, U,W 가 V 의 subspace 라고 할 때, 다음 조건은 동치이다.

\(V = U \oplus W,\)

\(V = U + W\) 이고 \(U \cap W = 0\)

이 떄, U 를 W의 direct complement 라고 부른다.

(관찰 7.5.3) V가 vector space 이고, U,W 가 V의 subspace 라고 할 때, 다음은 동치이다.

\(V = U \oplus W\)

V 의 모든 vector v 는 \(u + w\) (단, \(u \in U\), \(w \in W\)) 의 꼴로 쓸 수 있고, 그 방법은 하나뿐이다.

\(V = U + W\) 이고, V의 zero vector 0 를 \(u + w\) (단, \(u \in U\), \(w \in W\) ) 의 꼴로 쓰는 방법은 하나뿐이다.

(관찰 7.5.4.) V가 f.d.v.s. 이고, \(U, W \le V\) 일 때, 다음 조건은 동치이다.

\(V = U \oplus W,\)

\(dim V = dim U + dim W\) 이고, \(U \cap W = 0.\)

(관찰 7.5.6.) V가 벡터공간이고 \(\mathfrak{B}{1}, \mathfrak{B}{2}\) 가 각각 V의 subspace \(W_{1}, W_{2}\) 의 기저라고 하면, 다음 조건은 동치이다.

\(V = W_{1} \oplus W_{2}\).

\(\mathfrak{B} = \mathfrak{B}{1} \mathfrak{U} \mathfrak{B}{2}\) 는 V의 basis. (단, \(\mathfrak{U}\) 는 disjoint union 을 의미한다.)

(정의 7.5.7) V가 vector space 이고, \(W_{1}, …, W_{k}\) 가 V의 subspace 라고 하자. 이 때, \(W_{1} + \cdots + W_{k}\) 의 vector v를 \(w_{1}, + \cdots + w_{k}\) (단, \(w_{i} \in W_{i}\)) 의 꼴로 표현하는 방법이 하나뿐이면, \(\sum_{i = 1}^{k} W_{i} = W_{1} + \cdots + W_{k} = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k} = \bigoplus_{i = 1}^{k} W_{i}\) 로 표기하고, 이런 경우에 “\(\sum_{i = 1}^{k} W_{i}\) 는 \(W_{1}, …, W_{k}\) 의 direct sum 이다” 라고 말한다. 또, 각각의 \(W_{1}, …, W_{k}\) 는 \(\oplus_{i=1}^{k}\) 의 direct summand 라고 말한다.

(관찰 7.5.9) V가 vector space 이고 \(W_{1}, …, W_{k}\) 가 V의 subspace 라고 할 때, 다음은 동치이다.

\(V = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k}\) .

V 의 모든 vector v 는 \(w_{1} + \cdots + w_{k}\) (단, \(w_{i} \in W_{i}\)) 의 꼴로 쓸 수 있고, 그 방법은 하나뿐이다.

\(V = W_{1} + \cdots + W_{k}\) 이고, V의 zero vector 0 을 \(w_{1} + \cdots + w_{k}\) (단, \(w_{i} \in W_{i}\)) 의 꼴로 쓰는 방법은 하나 뿐이다.

(관찰 7.5.11) \(\mathfrak{B}{i}\) 가 각각 V의 subspace \(W{i}\) (단, \(i = 1,…,k\)) 의 기저라고 할 때, 다음 조건은 동치이다.

\( V = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k}\)

\(\mathfrak{B} = \mathfrak{B}{1} \mathfrak{U} \cdots \mathfrak{U} \mathfrak{B}{k}\) 는 V의 basis. (이 때, \(\mathfrak{U}\) 는 mutually disjoint union 을 의미한다. 즉\( \mathfrak{B}{i} \cap \mathfrak{B}{j} = \empty if i \neq j\) 인 union 이라는 뜻이다.)

(정의 7.5.15.) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\)이고, \(\lambda \in F\) 일 때, \(V_{\lambda} = V_{T,\lambda} = {v \in V | Tv = \lambda v}\) 로 표기하고, \(V_{\lambda} = V_{T,\lambda}\) 를 \(\lambda\) 에 대응하는 T의 eigen-space 라고 부른다.

(관찰 7.5.17) \(T \in \mathfrak{L}\mathfrak{M}\) 일 때, 다음은 동치이다.

T는 diagonalizable.

\(V = V_{\lambda_{1}} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_{k}}\) 인, T의 (서로 다른) eigen-value \(\lambda_{1}, …, \lambda_{k}\) 존재.

(정의 7.5.18) 위 (관찰 7.5.17) 의 \(V = V_{\lambda_{1}} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_{k}}\) 를 diagonalizable T 에 관한 (V의) eigen-space decomposition 이라고 부른다.