Basis and Dimension 기저와 차원

(Section 3) 기저와 차원

(subsection 3.1) Linear Combination

(정의 3.3.1) (가)\( v_{1}, \cdots, v_{n} \in V\) 일 때, \(a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \cdots + a_{n}v_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}v_{i}\) , (단, \(a_{1}, \cdots, a_{n} \in F\)) 꼴의 vector를 우리는 \({v_{1}, \cdots, v_{n}}\) 의 일차결합 (F-linear combination) 이라고 부른다.

(나) \(S \subset V\) 일 때, (S가 무한집합이라면)\(v \in V\) 가 S의 일차결합이라는 말은 v가 [\(S_{0}\) 의 일차결합] 인 유한집합 \(S_{0} \subseteq S\) 가 존재하냐는 뜻이다. (매번 \(S \neq 0\) 이라는 조건을 다느니,\(\0 \) 의 일차결합 전체의 집합은 {0} 이라고 약속하는 것이 간편하다.)

(관찰 3.1.3) \(S \subseteq V\) 일 때, [S 의 linear combination 전체의 집합] 은 V의 부분공간이 된다.

(정의 3.1.4) \(S \subseteq V\) 일 때, S를 포함하는 가장 작은 V의 subspace를 \(\langle S \rangle\) 로 표기하고,\( \langle S \rangle\) 를 subspace generated by S (혹은 subspace spanned by S, S 가 생성한 부분공간) 이라고 부른다. (여기에서, [S를 포함하는 가장 작은 V의 subspace] 라는 말은 \(S \subseteq \langle S \rangle \le V\) 이면서, 만약 \(S \subseteq W \le V\) 이면, \(\langle S \rangle \le W\) 라는 뜻이다.)

(보조정리 3.1.5)\( S \subseteq V\) 이면, \(\langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq W \le V} W\) 이다. 이로부터 \(\langle S \rangle\) 의 existence 와 uniqueness 가 얻어진다.

(명제 3.1.6) \(S \subseteq V\) 이면,\( \langle S \rangle\) 는 [S 의 linear combination 전체의 집합] 과 같다.

(subsection 3.2) 일차독립과 일차종속

(정의 3.2.1) (가) 유한집합 \(\lbrace v_{1}, \cdots, v_{n}\rbrace \subseteq V\) 가 다음 조건 \(a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \cdots + a_{n}v_{n} = 0\) 이면, \(a_{1} = \cdots = a_{n} = 0 (단, a_{i} \in F )\) 를 만족하면, 우리는 \({v_{1}, \cdots, v_{n}}\) 을 일차독립 (F-linearly independent) 인 부분집합이라고 부른다.

(나) \(\0 \neq S \subseteq V\) 일 때, S가 일차독립이라는 말은 S의 모든 finite subset 이 일차독립이라는 뜻이다.

(다) \(\0 \neq S \subseteq V\) 가 일차독립이 아니면 일차종속 (F-linearly dependent) 이라고 말한다.

(관찰 3.2.2) 유한집합 S 가 일차독립이면, S의 모든 non-empty subset 도 일차독립이다.

(관찰 3.2.7) \({v_{1}, \cdots, v_{n}} \subseteq V\) 일 때, 다음 세 조건은 동치이다.

\({v_{1}, \cdots, v_{n}}\) 는 일차독립이다.

\({v_{1}, \cdots, v_{n}}\) 의 일차결합으로 zero vector 0 를 표현하는 방법은 하나 – 즉 \(0v_{1} + \cdots, 0v_{n} = 0 –\) 뿐이다.

어떤\( v \in V\) 가 \({v_{1}, …, v_{n}}\) 의 일차결합으로 표현된다면, 그 표현법은 하나뿐이다.

(subsection 3.3) Vector space 의 Basis

(정의 3.3.1) V가 vector space 이고 \(\0 \neq \mathfrak{B} \subseteq V\) 일 때,

\(\langle \mathfrak{B} \rangle = V\) (즉 \(\mathfrak{B}\) generates V) ,

\(\mathfrak{B}\) 는 linearly independent

이면, 우리는\( \mathfrak{B}\) 를 V의 기저 (basis, F-basis) 라고 부른다.

(관찰 3.3.2) 다음 조건은 동치이다.

\(\mathfrak{B}\) 는 V의 basis 이다.

V의 모든 vector 는 \(\mathfrak{B}\) 의 linear combination 으로 표현할 수 있고, 그 표현법은 하나 뿐이다.

(정의) \(e_{i} \in F^{n}\) 을 i-번째 좌표만 1 이고 나머지 좌표는 0인 표준단위벡터라고 하면, \(\mathcal{E} = {e_{1}, …, e_{n}}\) 은 \(F^{n}\) 의 기저이다. 우리는 \(\mathcal{E}\) 를 \(F^{n}\) 의 표준기저 (standard basis, Euclidean basis) 라고 부른다.

(정의 3.3.5) 유한집합 \(\mathfrak{B} = {v_{1}, …, v_{n}}\) 이 V의 F-basis 라고 하자. \(v \in V\) 가 \(v = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \cdots + a_{n}v_{n}\) 으로 표현될 때 (이러한 표현은 항상 유일한 방법으로 가능하다) 우리는 \(F^{n}\) 의 vector \((a_{1}, …, a_{n})\) 을 [basis \(\mathfrak{B}\) 에 관한 v의 좌표] 라고 부르고, \(\left[v\right]{\mathfrak{B}} = ^{t}(a{1}, …, a_{n})\) 으로 표기한다.

(관습 3.3.6) \(v_{1}, …, v_{n}\) 의 순서가 고정된 기저 \(\mathfrak{B} = \lbrace_{1}, …, v_{n}\rbrace\) 을 ordered basis 라고 부른다. 더불어 우리가 단순히 basis라 말할 때도 언제나 ordered basis 를 의미하는 것으로 약속한다. 즉, basis = ordered basis 가 우리의 관습이다.

(명제 3.3.11)\( A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}{n,n} (F)\) 가 가역이고, \(\lbrace v{1}, …, v_{n}\rbrace\) 이 V의 기저일 때, \(w_{j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} v_{i} (j = 1,…,n) \)이라고 정의하면, \({w_{1}, …, w_{n}}\) 도 V의 기저이다.

(따름명제 3.3.12)\( A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n,n} (F)\) 가 가역이면, \(\lbrace \left[ A \right]^{1}, …., \left[ A \right]^{n} \rbrace\) 은 \(F^{n}\) 의 기저이다. (단, \(\left[ A \right] ^{j}\) 는 행렬 A의 j-th column.)

(subsection 3.4) Basis의 존재

(정리 3.4.3) 모든 non-zero vector space 는 basis 를 갖는다.

(section 3.5) Vector space 의 Dimension

(정리 3.5.1) Vector space V 가 basis \(\mathfrak{B}\) 와 \(\mathfrak{C}\) 를 가지면, \(|\mathfrak{B}| = |\mathfrak{C}|\) 이다.

(보조정리 3.5.2) Vector space V 가 finite basis \(\mathfrak{B} = {v_{1}, …, v_{n}}\) 를 갖는다고 하자. 이 때, 만약\( \mathfrak{C} = {w_{1}, …, w_{n}} \subseteq V\) 이고 n < m 이면, \(\mathfrak{C}\) 는 linearly independent 이다.

(정의 3.5.4) 벡터공간 V가 F-basis \(\mathfrak{B}\) 를 가질 때, \(\mathfrak{B}\) 의 원소수 \(|\mathfrak{B}|\) 를 V의 차원(dimension) 이라 부르고, \(dim_{F} V = dim V\) 로 표기한다. (dim 0 = 0) dim V 가 유한이면, 우리는 V를 유한차원 (finite dimensional) 벡터공간이라고 부른다. 무한이면 무한차원 벡터공간이라 부른다.

finite dimensional vector space 를 앞으로 f.d.v.s 라 줄여서 표기한다.

(Basis extension theorem) (정리 3.5.5) S가 V의 linearly independent subset이면, S를 포함하는 V의 basis 가 존재한다.

(Basis extension theorem) (따름정리 3.5.6) V가 f.d.v.s. 이고 \(W \le V\) 라고 하자. 만약 \({w_{1}, …, w_{r}}\) 이 W의 기저이면 이를 확장하여 V의 기저 \({w_{1}, …, w_{r}, v_{1}, …, v_{s}}\) 를 찾을 수 있다. (단, \(s \ge 0\))

(따름정리 3.5.8) V가 f.d.v.s. 이고 \(W \le V\) 이면,

W도 f.d.v.s. 이고, \(dim W \le dim V\) 이다.

만약 \(dim W = dim V\) 이면, \(W = V\) 이다.

(따름정리 3.5.9) \(S \subseteq V\) 이고 \(|S| = dim V < \infty\) 이면, 다음 조건은 동치이다.

S는 V의 기저이다.

S는 일차독립이다.

\(\langle S \rangle = V\) 이다.

(subsection 3.6) 우리의 철학

(관찰 3.6.6) \(\phi : V \to W\) 가 isomorphism 일 때, \(\mathfrak{B}\) 가 V의 기저이면, \(\phi( \mathfrak{B}\) 는 W의 기저이고, 따라서 \(dim V = dim W\) 이다.

(우리의 철학 1) Isomorphism 의 철학

up to isomorphism 같은 벡터공간은 덧셈과 상수곱에 의해 묘사되는 성질이 같다.

(우리의 철학 2) Identification 의 철학

up to isomorphism 같고 표기법만 다르다면 표기법을 고쳐서 표기법도 같게 만들면 된다.