미분과 르벡적분

(section 2) 미분과 르벡적분

(subsection 2.1) 단조함수의 미분과 적분의 미분

적분가능함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 에 대하여 새로운 함수 F를 다음 F(x) = \int_{a}^{b} f, x \in [a,b] 와 같이 정의한다.

(비탈리)(도움정리 2.1.1) 잴 수 있는 집합 E \subset \mathbb{R} 이 \mu(E) < \infty 이고, 닫힌구간모임 \mathcal{I} 가 다음조건

임의의 \epsilon > 0 과 x \in E 에 대하여 x \in I 및 \mu(I) < \epsilon 을 만족하는 구간 I \in \mathcal{I} 가 존재한다.

을 만족하면, 임의의 양수 \epsilon >0 에 대하여 \mu[E \setminus (I_{1} \sqcup I_{2} \sqcup … \sqcup I_{n})] < \epsilon 이 성립하는 유한개의 서로소인 부분모임 {I_{1}, I_{2}, …, I_{n}} \subset \mathcal{I} 이 존재한다.

(정의) 열린구간 I 에서 정의된 함수 f : I \to \mathbb{R} 의 정의역의 한 점 x \in I 에 대하여 다음 값들을 정의하자. 이 값들은 \mp \infty 를 취할 수 있는데, 이를 디니 미분계수라 한다.

D^{+} f(x) = \limsup_{h \to 0+} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}

D_{+} f(x) = \liminf_{h \to 0+} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}

D^{-} f(x) = \limsup_{h \to 0+} \frac{f(x) – f(x-h)}{h}

D_{-} f(x) = \liminf_{h \to 0+} \frac{f(x) – f(x-h)}{h}

(명제) 함수 f 가 x 에서 미분가능할 필요충분조건은 디니미분계수가 모두 유한이고 일치함이다.

(르벡)(정리 2.1.2) 임의의 단조증가함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 은 거의 모든 점에서 미분가능하다.

(명제 2.1.3) 단조증가함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 의 도함수 f’ 은 잴 수 있는 함수이고 부등식 \int_{a}^{b} f’ \le f(b) – f(a) 를 만족한다.

(명제 2.1.4) 잴 수 있는 집합 E에서 정의된 L^{1} 함수 f \in L^{1}(E) 가 주어져 있을 때, 임의의 양수 \epsilon >0 에 대하여 성질 A \in \mathfrak{M}, m(A) < \delta \implies \int_{A} |f| < \epsilon 을 만족하는 양수 \delta >0 가 존재한다.

(첫 번째 미적분학의 기본정리) (정리 2.1.5) 르벡적분가능한 함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 에 대하여 F(x) = F(a) + \int_{a}^{x} f, x \in [a,b] 라 정의하면, 거의 모든 점에서 F’ = f 가 성립한다.

(푸비니) (정리 2.1.6) 구간 [a,b] 에서 정의된 단조증가함수로 이루어진 급수 \sum_{n} f_{n} 이 s 로 점별수렴하면 거의 모든 점에서 s’ = \sum_{n} f’_{n} 이 성립한다.

(subsection 2.2) 절대연속함수와 미분의 적분

(정의)칸토르 집합에 대하여, 각 n = 1,2,… 에 대하여 g(n) = \frac{3^{n}}{2^{n}}\chi_{C_{n}} , f_{n}(x) = \int_{0}^{x} g_{n}, x \in [0,1] 이라 정의하자. |f_{n}(x) – f_{n+1}(x)| \le \frac{1}{2^{n-1}} 이므로, 함수열 \langle f_{n} \rangle 은 단조증가 연속함수로 고르게 수렴하는데, 그 극한함수 \phi 를 칸토르함수라 한다.

\phi는 거의 모든점에서 미분가능하고 \phi’ 이 르벡적분가능함에도 불구하고 등식 int_{a}^{x} f’ = f(x) – f(a) , x \in [a,b] 이 성립하지 않는다.

(정의) 함수 f : [a,b] \to \mathbb{C} 가 주어져 있을 때, 임의의 \epsilon >0 에 대하여 성질

{(a_{i},b_{i} : i = 1,2,…,n} 이 서로소인 [a,b] 의 부분구간모임이고 \sum_{i = 1}^{n} (b_{i} – a_{i}) < \delta 이면 \sum_{i = 1}^{n}|f(b_{i}) – f(a_{i})| < \epsilon 이다.

을 만족하는 양수 \delta > 0 가 존재하면 f 를 절대연속함수라 한다.

(명제) f 가 적분가능하면 F는 절대연속이다. 절대연속함수는 고른연속함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

(정의) 함수 f : [a,b] \to \mathbb{C} 와 구간 [a,b] 의 분할 P = {x_{0}, … , x_{n}} 가 주어졌을 때, 분할 P 에 의한 함수 f의 변동 V_{a}^{b} (f,P) 를 V_{a}^{b} (f,P) = \sum_{i=1}^{n} |f(x_{i}) – f(x_{i-1})| 로 정의한다.

(정의) 집합 { V_{a}^{b} (f,P): P \in \mathcal{P}[a,b]} 가 위로 유계일 때, 함수 f 를 유계변동함수라 하고, 이 경우 전변동 V_{a}^{b} (f) 를 V_{a}^{b} (f) = \sup{V_{a}^{b} (f,P) : P \in \mathcal{P}[a,b]} 라 정의한다.

(죠르당)(정리 2.2.1) 함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 가 유계변동일 필요충분조건은 f가 단조증가함수의 차로 표시됨이다.

따라서 유계닫힌구간에서 정의된 유계변동함수는 거의 모든 점에서 미분가능하다.

(명제 2.2.2) 모든 절대연속함수 f : [a,b] \to \mathbb{C} 는 유계변동함수이다.

따라서 유계닫힌구간에서 정의된 임의의 절대연속함수가 거의 모든 점에서 미분가능하다.

(도움정리 2.2.3) 만일 f : [a,b] \to \mathbb{R} 이 절대연속이고 거의 모든 점에서 f’ = 0 이면 f 는 상수함수이다.

(두번째 미적분학의 기본정리) (정리 2.2.4) 함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 에 대하여 다음은 동치이다.

함수 f 가 절대연속이다.

함수 f 가 거의 모든 점에서 미분가능하고 f’ 이 르벡적분가능하며, 등식 f(x) = f(a) + \int_{a}^{x} f’, x\in [a,b] 이 성립한다.

(정의) 임의의 단조증가함수는 절대연속함수 g와 도함수가 거의 모든 점에서 0 인 함수의 합으로 표시된다. 임의의 유계변동함수 역시 절대연속함수와 도함수가 거의 모든 점에서 0인 함수의 합으로 표시된다. 이를 르벡 분해라 한다.

(명제 2.2.5) 함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 가 절대연속이고 N \subset [a,b] 이 영측도집합이면 f(N) 도 영측도집합이다.

(따름정리 2.2.6) 함수 f : [a,b] \to \mathbb{R} 이 절대연속이고 E \subset [a,b]가 잴 수 있는 집합이면 f(E) 도 잴 수 있는 집합이다.